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/!\ Edit conflict - other version: La derivación de la dinámica no lineal es realizada en coordenadas inerciales NED y de cuerpo fijo. Denotemos con $$${e_N, e_E, e_D}$$ los ejes inerciales, y con { $$$x_B$$ , $$$y_B$$ , $$$z_B$$ } a los ejes del cuerpo. Los ángulos de Euler de los ejes del cuerpo son { $$$\phi$$, $$$\theta$$, $$$\psi$$} con respecto a los ejes $$$e_N$$, $$$e_E$$ y $$$e_D$$ respectivamente, y son referidos como roll, pitch and yaw. Definamos a r como el vector de posición desde el origen inercial hacía el centro de gravedad del vehículo(CG), y dejemos que $$$\omega_B$$ sea definido como la velocidad angular en con respecto al eje de referencia del cuerpo. La dirección actual de la velocidad es referida como $$$e_v$$ en coordenadas inerciales. /!\ Edit conflict - your version: La derivación de la dinámica no lineal es realizada en coordenadas inerciales NED y de cuerpo fijo. Denotemos con {$$$ e_N$$, $$$e_E$$, $$$e_D$$} los ejes inerciales, y con { $$$x_B$$ , $$$y_B$$ , $$$z_B$$ } a los ejes del cuerpo. Los ángulos de Euler de los ejes del cuerpo son { $$$\phi$$, $$$\theta$$, $$$\psi$$} con respecto a los ejes $$$e_N$$, $$$e_E$$ y $$$e_D$$ respectivamente, y son referidos como roll, pitch and yaw. Definamos a r como el vector de posición desde el origen inercial hacía el centro de gravedad del vehículo(CG), y dejemos que $$$\omega_B$$ sea definido como la velocidad angular en con respecto al eje de referencia del cuerpo. La dirección actual de la velocidad es referida como $$$e_v$$ en coordenadas inerciales. Los rotores, numerados 1-4, están montados sobre los ejes $$$x_B$$, $$$y_B$$, $$$-x_B$$ y $$$-y_B$$, respectivamente, con vectores de posición $$$r_i$$ con respecto a CG. Cada rotor produce un /!\ End of edit conflict

$$$ \mathbf{F} = -D_B\cdot\vec{e_V} + mg\cdot\vec{e_D} + \sum\limits^{4}_{i=1}(-T_i\cdot\vec{z_B}-D_i\cdot\vec{e_V})$$$$$ \mathbf{M} = \sum\limits_{i=1}^4[Q_i\cdot\vec{z_B} - R_i\cdot\vec{e_V} - D_i(\vec{r_i}\times\vec{e_V}) + T_i(\vec{r_i}\times\vec{z_B})]$$$$$ \mathbf{F} = m\ddot{r} $$$$$ \mathbf{M} = I \dot{\omega}_B + \omega_B \times I \omega_B $$

$$$ D_B = q_{\infty}SC_D $$

$$$ T_i \cong \mu_i\frac{K_\tau}{1+0.1s}$$

$$$ D_i $$

$$$ Q_i = K_{\tau}T_i $$

$$$ R_i $$

$$$ D_i $$

$$$ T = \sum\limits_{i=1}^4{T_i} $$

Suponiendo que el Cuadricóptero está en vuelo estacionario podemos despreciar $$$ D_B $$ y $$$ D_i $$. Con esto nos queda:

$$$ m\ddot{r} = \mathbf{F} = -R_{\psi}R_{\theta}R_{\phi}T\cdot\vec{z_B} + mg\cdot\vec{e_D}$$Aproximando las matrices de rotación de los ángulos para ángulos pequeños, tenemos: $$$ -R_{\psi}R_{\theta}R_{\phi} = \left[\matrix{ 1 & \psi & \theta \cr \psi & 1 & \phi \cr \theta & -\phi & 1 }\right] $$$$$ m\ddot{r} = \left[\matrix{ 1 & \psi & \theta \cr \psi & 1 & \phi \cr \theta & -\phi & 1 }\right]\left[\matrix{ 0 \cr 0 \cr -T }\right] + \left[\matrix{ 0 \cr 0 \cr mg }\right] $$$$$ m\ddot{r} = \left[\matrix{ 0 & -\bar{T} & 0 \cr \bar{T} & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 }\right]\left[\matrix{ \phi \cr \theta \cr T }\right] + \left[\matrix{ 0 \cr 0 \cr mg }\right] $$

También podemos despreciar los momemtos de Rolling $$$ R_i $$ y $$$ \omega_B\times I\omega_B $$. El Torque nos queda: $$$ \mathbf{M} = I\dot{\omega}_B = \sum\limits_{i=1}^4[Q_i\cdot\vec{z_B} + T_i(\vec{r_i}\times\vec{z_B})] $$$$$ \left[\matrix{ I_x\ddot{\phi} \cr I_y\ddot{\theta} \cr I_z\ddot{\psi} }\right] = \left[\matrix{ 0 & l & 0 & -l \cr l & 0 & -l & 0 \cr K_r & -K_r & K_r & -K_r }\right]\left[\matrix{ T_1 \cr T_2 \cr T_3 \cr T_4 }\right] $$

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