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= Derivación del Modelo Dinámico del Cuadricóptero =

<<TableOfContents(6)>>

== Fuerza y Momento ==

$$$ \mathbf{F} = -D_B\cdot\vec{e_V} + mg\cdot\vec{e_D} + \sum\limits^{4}_{i=1}(-T_i\cdot\vec{z_B}-D_i\cdot\vec{e_V})$$

$$$ \mathbf{M} = \sum\limits_{i=1}^4[Q_i\cdot\vec{z_B} - R_i\cdot\vec{e_V} - D_i(\vec{r_i}\times\vec{e_V}) + T_i(\vec{r_i}\times\vec{z_B})]$$

$$$ \mathbf{F} = m\ddot{r} $$

$$$ \mathbf{M} = I\dot{\omega}_B + \omega_B\times I\omega_B $$

=== Descripción ===

==== Fuerza de Arrastre del Cuerpo ====
$$$ D_B = q_{\infty}SC_D $$

==== Empuje ====
$$$ T_i \cong \mu_i\frac{K_\tau}{1+0.1s}$$

==== Fuerza de arrastre sobre los rotores debido a la velocidad horizontal ====
$$$ D_i $$

==== Momento de arrastre sobre el eje de rotación de los rotores ====
$$$ Q_i = K_{\tau}T_i $$

==== Momento de Roll generado en los rotores por la velocidad ====
$$$ R_i $$

==== Fuerza de arrastre en los rotores debido a la velocidad ====
$$$ D_i $$

==== Empuje Total ====
$$$ T = \sum\limits_{i=1}^4{T_i} $$

== Aproximación de la Fuerza y el Momento ==
Suponiendo que el Cuadricóptero está en vuelo estacionario podemos despreciar $$$ D_B $$ y $$$ D_i $$. Con esto nos queda:

=== Fuerza ===
$$$ m\ddot{r} = \mathbf{F} = -R_{\psi}R_{\theta}R_{\phi}T\cdot\vec{z_B} + mg\cdot\vec{e_D}$$

Aproximando las matrices de rotación de los ángulos para ángulos pequeños, tenemos:

$$$ -R_{\psi}R_{\theta}R_{\phi} = \left[\matrix{ 1 & \psi & \theta \cr \psi & 1 & \phi \cr \theta & -\phi & 1 }\right] $$

$$$ m\ddot{r} = \left[\matrix{ 1 & \psi & \theta \cr \psi & 1 & \phi \cr \theta & -\phi & 1 }\right]\left[\matrix{ 0 \cr 0 \cr -T }\right] + \left[\matrix{ 0 \cr 0 \cr mg }\right] $$

$$$ m\ddot{r} = \left[\matrix{ 0 & -\bar{T} & 0 \cr -\bar{T} & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 }\right]\left[\matrix{ \phi \cr \theta \cr T }\right] + \left[\matrix{ 0 \cr 0 \cr mg }\right] $$

=== Momento ===
También podemos despreciar los momemtos de Rolling $$$ R_i $$ y $$$ \omega_B\times I\omega_B $$. El Torque nos queda:

$$$ \mathbf{M} = I\dot{\omega}_B = \sum\limits_{i=1}^4[Q_i\cdot\vec{z_B} + T_i(\vec{r_i}\times\vec{z_B})] $$