Bienvenido: Ingresar
location: Diferencias para "LabElectronica/ProyectoQuadricoptero/PVTOL_ControlDelAngulo"
Diferencias entre las revisiones 30 y 41 (abarca 11 versiones)
⇤ ← Versión 30 con fecha 2010-09-06 22:27:45 →
Tamaño: 5963
Editor: Jaarac
Comentario:
← Versión 41 con fecha 2010-09-24 14:37:35 → ⇥
Tamaño: 6535
Editor: DavidGaydou
Comentario:
Los textos eliminados se marcan así. Los textos añadidos se marcan así.
Línea 8: Línea 8:
||<bgcolor="#FF0000"> Correcciones: la referencia a lazo abierto no es ángulo, debería ser torque. ||
Línea 30: Línea 30:
$$$\frac{\Phi_{ref}(s)}{\Phi_{Med}(s)}=\frac{G_{LA}(s)}{1+G_{LA}(s)H(s)}=\frac{K_pK_MK_J}{s^2 + K_pK_MK_J}$$ $$$\frac{\Phi_{out}(s)}{\Phi_{ref}(s)}=\frac{G_{LA}(s)}{1+G_{LA}(s)H(s)}=\frac{K_pK_MK_J}{s^2 + K_pK_MK_J}$$
Línea 44: Línea 44:
$$$\frac{\Phi_{ref}(s)}{\Phi_{Med}(s)}=\frac{G_{LA}(s)G_c(s)}{1+G_{LA}(s)H(s)G_c(s)}=\frac{K_pK_MK_J + K_dK_MK_Js}{s^2 + K_dK_MK_Js + K_pK_MK_J}$$ $$$\frac{\Phi_{out}(s)}{\Phi_{ref}(s)}=\frac{G_{LA}(s)G_c(s)}{1+G_{LA}(s)H(s)G_c(s)}=\frac{K_pK_MK_J + K_dK_MK_Js}{s^2 + K_dK_MK_Js + K_pK_MK_J}$$

== Modelo Balancín con Compensador PID ==

$$$ G_p(s) = \frac{1}{Js^2} $$ ; $$$ G_c(s) = k_p\cdot(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds}) $$.

$$$ G_{LA}(s) = \frac{k_p}{T_iJ}\frac{T_iT_ds^2 + T_is + 1}{s^3}$$

$$$ G_{LC}(s) = k_p\frac{T_iT_ds^2 + T_is + 1}{T_iJs^3 + k_pT_iT_ds^2 + k_pT_is + k_p}$$
Línea 84: Línea 92:
||<bgcolor="#FF0000"> Correcciones: El bloque del retentor de orden cero va después del bloque del compensador ||
Línea 143: Línea 151:
Definiendo $$$ K_{In} $$ y $$$ K_{Dn} $$ como en el punto anterior. Definiendo $$$ K_{In} $$ y $$$ K_{Dn} $$ como en el punto anterior y definiendo $$$ J_n = \frac{J}{K_P} $$ y $$$ K_1 = \frac{2J_n}{T^2} $$.
Línea 145: Línea 153:
$$$ G_{LC}(z) = \frac{G(z)G_c(z)}{1+G(z)G_c(z)} = {T^2}\frac{(1 + K_{In} + K_{Dn})z^3 + (K_{In} - K_{Dn})z^2 + (-1 - K_{Dn})z + K_{Dn}}{ 2Jz^4 + [(1+K_{In}+K_{Dn})T^2 -6J]z^3 + [(K_{In}-K_{Dn})T^2 + 6J]z^2 + [(-1-K_{Dn})T^2 -2J]z + K_{Dn}T^2}$$ $$$ G_{LC}(z) = \frac{G(z)G_c(z)}{1+G(z)G_c(z)} = \frac{(1 + K_{In} + K_{Dn})z^3 + (K_{In} - K_{Dn})z^2 + (-1 - K_{Dn})z + K_{Dn}}{ K_1z^4 + ( 1+K_{In}+K_{Dn} - 3K_1)z^3 + (K_{In}-K_{Dn} + 3K_1)z^2 + (-1-K_{Dn} -K_1)z + K_{Dn}}$$

Tabla de Contenidos

    1. Modelo Balancín
    2. Modelo Balancín con Compensación Proporcional y Realimentación
    3. Modelo Balancín con Compensación Proporcional-Derivativa y Realimentación
    4. Modelo Balancín con Compensador PID
    5. Cálculo Aproximado de las constantes
      1. Cálculo de la constante de Inercia
      2. Cálculo de la constante del Motor
        1. Estabilización en modo común
    6. Análisis Discreto
    7. Análisis en tiempo continuo, con retentor de orden cero aproximado
  2. Diseño del Controlador PID Discreto para el Balancín
    1. Funciones de Transferencia
      1. Función de Transferencia de la Planta más el Retentor de Orden Cero
        1. Tiempo Continuo
        2. Tiempo Discreto
      2. Función de Transferencia del Controlador PID
        1. Tiempo Discreto
      3. Función de Transferencia a Lazo Abierto
        1. Tiempo Discreto
      4. Función de Transferencia a Lazo Cerrado
        1. Tiempo Discreto

Modelo Balancín

Correcciones: la referencia a lazo abierto no es ángulo, debería ser torque.

FdTLASinRea.png

$$$G_p = \frac{K_J}{s^2}$$

$$$G_c = K_p$$

$$$K_M = \frac{\Delta_F}{\Delta_D}$$

$$$K_J = \frac{r}{J_T}$$

En donde

$$G_c$$

es el compensador,

$$k_M$$

es la función de transferencia entre fuerza y duty, y

$$k_J$$

es la función de transferencia entre fuerza y ángulo.

$$r$$

representa la distancia desde la aplicación de la fuerza hasta el centro de giro y

$$J_T$$

es la inercia total.

La función de transferencia a Lazo abierto queda:

$$$G_{LA}(s) = \frac{K_pK_MK_J}{s^2}$$

Modelo Balancín con Compensación Proporcional y Realimentación

Suponemos que la función de transferencia del sensor es lineal, por esto podemos decir que la

$$H(s)=1$$

.

De esto obtenemos:

$$$\frac{\Phi_{out}(s)}{\Phi_{ref}(s)}=\frac{G_{LA}(s)}{1+G_{LA}(s)H(s)}=\frac{K_pK_MK_J}{s^2 + K_pK_MK_J}$$

Modelo Balancín con Compensación Proporcional-Derivativa y Realimentación

FdTLA_PD.png

Suponemos que la función de transferencia del sensor es lineal, por esto podemos decir que la

$$H(s)=1$$

.

De esto obtenemos:

$$$G_c(s) = K_p + K_ds$$

$$$G_{LA}(s) = \frac{K_MK_J}{s^2}$$

$$$\frac{\Phi_{out}(s)}{\Phi_{ref}(s)}=\frac{G_{LA}(s)G_c(s)}{1+G_{LA}(s)H(s)G_c(s)}=\frac{K_pK_MK_J + K_dK_MK_Js}{s^2 + K_dK_MK_Js + K_pK_MK_J}$$

Modelo Balancín con Compensador PID

$$$ G_p(s) = \frac{1}{Js^2} $$

;

$$$ G_c(s) = k_p\cdot(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds}) $$

.

$$$ G_{LA}(s) = \frac{k_p}{T_iJ}\frac{T_iT_ds^2 + T_is + 1}{s^3}$$

$$$ G_{LC}(s) = k_p\frac{T_iT_ds^2 + T_is + 1}{T_iJs^3 + k_pT_iT_ds^2 + k_pT_is + k_p}$$

Cálculo Aproximado de las constantes

Cálculo de la constante de Inercia

$$$K_J = \frac{r}{J_T}$$

$$$J = \sum{m.r^2}$$

$$$J_T = 2(J_{motor} + J_{ESC} + J_{helice}) + J_{barra}$$

$$$J_{motor} = 52.{20,5}^2 [g.{cm}^2] = 21853 [g.{cm}^2]$$

$$$J_{ESC} = 32.{10}^2 [g.{cm}^2] = 3200 [g.{cm}^2]$$

$$$J_{helice} = 15.{20,5}^2 [g.{cm}^2] = 6303,75 [g.{cm}^2]$$

$$$J_{barra} = \frac{m.L^2}{12} = \frac{110.{51}^2}{12} [g.{cm}^2] = 23842,5 [g.{cm}^2]$$

$$$J_T = 86556 [g.{cm}^2] = 0.0086556 [Kg.{m}^2]$$

$$$\boxed{K_J = \frac{21}{86556}[\frac{1}{g.cm}]= 24.26174962[\frac{1}{Kg.m}]}$$

Cálculo de la constante del Motor

Según las mediciones realizadas podemos aproximar estas constantes.

$$$K_{MPusher} = \frac{\Delta_F}{\Delta_D} = \frac{40}{3000}\frac{g}{cuentas}$$

$$$K_{MNormal} = \frac{\Delta_F}{\Delta_D} = \frac{70}{3000}\frac{g}{cuentas}$$

Estabilización en modo común

En esta medición se trato de llevar el ángulo del PVTOL a cero seteando el pwm de un motor y ajustando el otro para que el ángulo sea 0.

Motor Normal

Motor Pusher

7700

5750

8350

7600

10100

11150

11750

14200

Análisis Discreto

Correcciones: El bloque del retentor de orden cero va después del bloque del compensador

Planta_PVTOL.png

Planta:

$$$G_p = \frac{1}{J*S^2}$$

Retentor de Orden Cero:

$$$ G_r=\frac{1-e^{-TS}}{S}$$

$$$ Z[\frac{1 - e^{-TS}}{S} * \frac{1}{J*S^2}] = (1-z^-1) * Z[\frac{2}{2*J*S^3}] = \frac{1-z^{-1}}{2*J}*\frac{T^2*z^{-1}*(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^3}$$

$$$ Z[G_p, G_r] = \frac{T^2}{2*J} * \frac{z^{-1}*(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{2}} $$

$$$ F(z) = G_p(z)*G_r(z)*G_c(z) = \frac{T^2}{2*J} * \frac{z^{-1}*(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{2}} * Kp * [1 + \frac{1}{T_i*(1-z^{-1})} + T_d*(1-z^{-1})] $$

$$$ F(z) = \frac{T^2 * K_p}{2*J} * [\frac{z^{-2} + z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} + \frac{z^{-2} + z^{-1}}{T_i*(1-z^{-1})^3} + \frac{T_d*z^ {-2} + T_d*z^{-1}}{(1-z^{-1})}] $$

$$$ F(z) = \frac{T^2 * K_p}{2*J} * \frac{T_i*T_d+(-T_i-T_i*T_d)*z+(1-T_i*T_d)*z^2+(1+T_i+T_i*T_d)*z^3}{z^4-3*z^3+3*z^2-z} $$

Análisis en tiempo continuo, con retentor de orden cero aproximado

$$$ G_{h0}(S) = \frac{1-e^{-TS}}{S} $$

Una aproximación de esto es

$$$ G_{h0} = \frac{2-TS}{S*(2+TS)} $$

$$$ G_p(S) = \frac{1}{J*S^2} $$

$$$ G_c(S) = K_p*(1 + \frac{1}{T_iS} + T_dS) $$

$$$ G_p(S)G_{h0}(S)G_c(S) = \frac{K_p*T_d}{J}*\frac{(2-TS)*(S^2+\frac{S}{T_i}+\frac{1}{T_iT_d})}{(2S+TS^2)*S^2*S} $$

$$$ G_p(S)G_{h0}(S)G_c(S) = \frac{K_p*T_d}{J}*\frac{-S^3+S^2*(\frac{2}{T}-\frac{1}{T_d})+S*(\frac{2}{T_dT}-\frac{1}{T_dT_i})+\frac{2}{T_dT_iT}}{S^5+S^4*\frac{2}{T}} $$

Diseño del Controlador PID Discreto para el Balancín

Funciones de Transferencia

Función de Transferencia de la Planta más el Retentor de Orden Cero

Tiempo Continuo

$$$ G_{h0}(s) = \frac{1-e^{-Ts}}{s} $$

Una aproximación de esto es

$$$ G_{h0} = \frac{2-Ts}{s(2+Ts)} $$

, pero no la usaremos.

$$$ G_p(s) = \frac{1}{Js^2} $$

$$$ G(s) = G_{h0}(s)G_p(s) = \frac{1-e^{-Ts}}{Js^3}$$

Tiempo Discreto

$$$ G(z) = \frac{T^2}{2J}\frac{z + 1}{(z-1)^2} = \frac{T^2}{2J}\frac{z + 1}{z^2 -2z + 1 }$$

Función de Transferencia del Controlador PID

Tiempo Discreto

$$$ G_c(z) = K_P + \frac{K_I}{1-z^{-1}} + K_D(1-z^{-1}) = \frac{(K_P + K_I + K_D)z^2 + ( -2K_D - K_P )z + K_D }{ z^2 - z }$$

Función de Transferencia a Lazo Abierto

Tiempo Discreto

$$$ G_{LA}(z) = G(z)G_c(z) = \frac{T^2}{2J}\frac{(K_P + K_I + K_D)z^3 + (K_I - K_D)z^2 + (-K_P - K_D)z + K_D}{z^4-3z^3+3z^2-z}$$

Si definimos

$$$ K_{In}=\frac{K_I}{K_P} $$

y

$$$ K_{Dn}=\frac{K_D}{K_P} $$

.

$$$ G_{LA}(z) = G(z)G_c(z) = \frac{T^2K_P}{2J}\frac{(1 + K_{In} + K_{Dn})z^3 + (K_{In} - K_{Dn})z^2 + (-1 - K_{Dn})z + K_{Dn}}{z^4-3z^3+3z^2-z}$$

Función de Transferencia a Lazo Cerrado

Tiempo Discreto

$$$ G_{LC}(z) = \frac{G(z)G_c(z)}{1+G(z)G_c(z)} = {T^2}\frac{(K_P + K_I + K_D)z^3 + (K_I - K_D)z^2 + (-K_P - K_D)z + K_D}{ 2Jz^4 + [(K_P+K_I+K_D)T^2 -6J]z^3 + [(K_I-K_D)T^2 + 6J]z^2 + [(-K_P-K_D)T^2 -2J]z + K_DT^2}$$

Definiendo

$$$ K_{In} $$

y

$$$ K_{Dn} $$

como en el punto anterior y definiendo

$$$ J_n = \frac{J}{K_P} $$

y

$$$ K_1 = \frac{2J_n}{T^2} $$

.

$$$ G_{LC}(z) = \frac{G(z)G_c(z)}{1+G(z)G_c(z)} = \frac{(1 + K_{In} + K_{Dn})z^3 + (K_{In} - K_{Dn})z^2 + (-1 - K_{Dn})z + K_{Dn}}{ K_1z^4 + ( 1+K_{In}+K_{Dn} - 3K_1)z^3 + (K_{In}-K_{Dn} + 3K_1)z^2 + (-1-K_{Dn} -K_1)z + K_{Dn}}$$

None: LabElectronica/ProyectoQuadricoptero/PVTOL_ControlDelAngulo (última edición 2010-09-24 23:27:14 efectuada por Jaarac)